Question

已知x∈[0，1]，函數f(x)=x2-ln(x+

1

2

)，g（x）=x³-3a²x-4a．
（Ⅰ）求函數f（x）的單調區間和值域；
（Ⅱ）設a≤-1，若?x₁∈[0，1]，總存在，使得g（x₀）=f（x₁）成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用導數研究函數的單調區間的方法步驟求解f（x）的單調區間和值域．
（2）在a≤-1，x∈[0，1]的條件下，判斷g（x）的單調性，進而求解g（x）的值域，依題意得f（x）的值域是g（x）值域的子集，列出關于a的不等式組，解出a的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）f/(x)=2x-

1

x+ 1 2

令f'（x）=0
解得：x=

1

2

，x=-1（舍去）
列表：
可知f（x）的單調減區間是(0，

1

2

)，增區間是(

1

2

，1)；
因為

1

4

＜1-ln

3

2

=ln2-(ln3-1)＜ln2，
所以當x∈[0，1]時，f（x）的值域為[

1

4

，ln2]
（Ⅱ）g′（x）=3（x²-a²）
因為a≤-1，x∈（0，1）
所以g′（x）＜0，g（x）為[0，1]上的減函數，g（1）≤g（x）≤g（0）
所以g（x）∈[1-4a-3a²，-4a]
因為當x∈[0，1]時，f（x）的值域為[

1

4

，ln2]
由題意知：[

1

4

，ln2]⊆[1-4a-3a2，-4a]
所以

1-4a-3a2≤ 1 4 -4a≥ln2

又a≤-1，得a≤-

3

2

．

點評：本題考查利用導數研究函數的單調性、值域等函數知識，對于（2）解答的關鍵是，f（x）的值域是g（x）的值域的子集，在學習中，同學們應熟練掌握這一方法，本題是一道好題，屬于教學中的重點和難點．