Question

在平面直角坐標系xOy中，曲線y＝x²－2x－3與坐標軸的交點都在圓C上．
（1）求圓C的方程；
（2）若直線x＋y＋a＝0與圓C交于A，B兩點，且AB＝2，求實數a的值．

Answer 1

（1）x²＋y²－2x＋2y-3＝0（2）

解析試題分析：（1）曲線y＝x²－2x－3與坐標軸的交點有三個交點，本題就是求過三個點的圓的方程，因此設圓方程的一般式x²＋y²＋Dx＋Ey＋F＝0，若從圖形看，則圓的方程又可設成x²＋y²－2x＋Ey-3＝0，再利用過點求出（2）先將圓的一般式化為標準式：，明確圓心和半徑，涉及圓的弦長問題，利用由半徑、半弦長、圓心到弦所在直線距離構成的直角三角形，列等量關系：
試題解析：（1）曲線與y軸的交點是(0，－3)．令y＝0，得x²－2x－3＝0，解得x＝－1或x＝3．
即曲線與x軸的交點是(－1，0)，(3，0)．                    2分
設所求圓C的方程是x²＋y²＋Dx＋Ey＋F＝0，
則，解得D＝－2，E＝2，F＝－3．
所以圓C的方程是x²＋y²－2x＋2y-3＝0．                  5分
（2）圓C的方程可化為，
所以圓心C(1，－1)，半徑．                           7分
圓心C到直線x＋y＋a＝0的距離，由于
所以，解得．                    10分
考點：圓的一般式方程，圓的弦長