【題目】設橢圓
，B為橢圓上任一點，F為橢圓左焦點，已知
的最小值與最大值之和為4，且離心率
，拋物線
的通徑為4．
求橢圓和拋物線的方程；
設坐標原點為O，A為直線
與已知拋物線在第一象限內的交點，且有
．
試用k表示A，B兩點坐標；
是否存在過A，B兩點的直線l，使得線段AB的中點在y軸上？若存在，求出直線l的方程，若不存在，請說明理由．
【答案】（1）橢圓方程為
，拋物線方程為
；（2）①
，
，
；②不存在.
【解析】
根據|
的最小值與最大值之和為4，可求出a=2，再根據離心率求出c，再求得
，則橢圓方程可得，根據拋物線
的通徑為4，可得
，即可求出拋物線方程，
設直線OA方程為
，與拋物線方程聯立，解得即可求出點A的坐標，根據設直線OB方程為
，將直線OB與橢圓聯立，解得即可求出點B的坐標，
根據
的結論，利用線段AB的中點在y軸上，若求出k的值，在存在，否則不存在
解：
為橢圓上任一點，F為橢圓左焦點，
的最小值與最大值之和為4，
，
，
，
，
橢圓方程為，
拋物線的通徑為4，
，
拋物線的方程為．
設直線OA方程為，顯然
，將直線OA與拋物線聯立：
得
，
，
，，
，
設直線OB方程為，將直線OB與橢圓聯立：
得
，
當
時，
，
，
，，
當
時，
，
，
，，
綜上
，
，
，
當時，，
的中點在y軸上
，即
，此時方程無解，
當時，
，
，即
，此時方程無解，
綜上可知，不存在這樣的直線l，使得AB的中點在y軸上．
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖
，
是以
為直徑的圓上一段圓弧，
是以
為直徑的圓上一段圓弧，
是以
為直徑的圓上一段圓弧，三段弧構成曲線
.則下面說法正確的是( )
A.曲線與
軸圍成的面積等于
B.與的公切線方程為：
C.
所在圓與所在圓的交點弦方程為：
D.用直線
截所在的圓，所得的弦長為
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，已知橢圓O： 
的右焦點為F，點B，C分別是橢圓O的上、下頂點，點P是直線l：y＝－2上的一個動點(與y軸交點除外)，直線PC交橢圓于另一點M.
(1)當直線PM過橢圓的右焦點F時，求△FBM的面積；
(2)記直線BM，BP的斜率分別為k1，k2，求證：k1·k2為定值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】下列結論：
①若
，則“
”成立的一個充分不必要條件是“
，且
”；
②存在
，使得
；
③若函數
的導函數是奇函數，則實數
；
④平面上的動點
到定點
的距離比
到
軸的距離大1的點
的軌跡方程為
.
其中正確結論的序號為_________．(填寫所有正確的結論序號）
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某校高一舉行了一次數學競賽，為了了解本次競賽學生的成績情況，從中抽取了部分學生的分數（得分取正整數，滿分為
）作為樣本（樣本容量
）進行統計，按照
、
、
、
、
的分組作出頻率分布直方圖，已知得分在、的頻數分別為
、
.
（1）求樣本容量和頻率分布直方圖中的
、
的值；
（2）估計本次競賽學生成績的眾數、中位數、平均數.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】下表提供了工廠技術改造后某種型號設備的使用年限x和所支出的維修費y（萬元）的幾組對照數據:
x（年） | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
y（萬元） | 1 | 2.5 | 3 | 4 | 4.5 |
（1）若知道y對x呈線性相關關系，請根據上表提供的數據，用最小二乘法求出y關于x的線性回歸方程
；
（2）已知該工廠技術改造前該型號設備使用10年的維修費用為9萬元，試根據（1）求出的線性回歸方程，預測該型號設備技術改造后，使用10年的維修費用能否比技術改造前降低?參考公式:
，
.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某中學高二年級組織外出參加學業水平考試，出行方式為：乘坐學校定制公交或自行打車前往，大數據分析顯示，當
的學生選擇自行打車，自行打車的平均時間為
(單位:分鐘) ,而乘坐定制公交的平均時間不受
影響,恒為40分鐘,試根據上述分析結果回答下列問題:
（1）當在什么范圍內時,乘坐定制公交的平均時間少于自行打車的平均時間?
（2）求該校學生參加考試平均時間
的表達式:討論的單調性,并說明其實際意義.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某校從參加高三模擬考試的學生中隨機抽取60名學生，將其數學成績（均為整數）分成六組[90，100），[100，110），…，[140，150]后得到如下部分頻率分布直方圖，觀察圖形的信息，回答下列問題：
（1）求分數在[120，130）內的頻率；
（2）若在同一組數據中，將該組區間的中點值（如：組區間[100，110）的中點值為
=105）作為這組數據的平均分，據此，估計本次考試的平均分；
（3）用分層抽樣的方法在分數段為[110，130）的學生中抽取一個容量為6的樣本，將該樣本看成一個總體，從中任取2人，求至多有1人在分數段[120，130）內的概率．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知
稱為
，
的二維平方平均數，
稱為，的二維算術平均數，
稱為，的二維幾何平均數，
稱為，的二維調和平均數，其中，均為正數.
（1）試判斷
與
的大小，并證明你的猜想.
（2）令
，
，試判斷
與
的大小，并證明你的猜想.
（3）令，，
，試判斷、、
三者之間的大小關系，并證明你的猜想.
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