Question

在1，2，3，4，5的所有排列a₁，a₂，a₃，a₄，a₅中，
（1）求滿足a₁＜a₂，a₂＞a₃，a₃＜a₄，a₄＞a₅的概率；
（2）記ξ為某一排列中滿足a_i=i（i=1，2，3，4，5）的個(gè)數(shù)，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

【答案】分析：（1）本題是一個(gè)古典概型，試驗(yàn)發(fā)生包含的所有的排列種數(shù)有A₅⁵．滿足條件的事件中，若a₁，a₃，a₅取集合{1，2，3}中的元素，a₂，a₄取集合{4，5}中的元素，都符合要求，若a₁，a₃，a₅取集合{1，2，4}中的元素，a₂，a₄取集合{3，5}中的元素，列舉出結(jié)果，得到概率．
（2）ξ為某一排列中滿足a_i=i（i=1，2，3，4，5）的個(gè)數(shù)，由題意知ξ可以取0，1，2，3，5．結(jié)合變量對(duì)應(yīng)的事件，寫(xiě)出變量的分布列，和期望．
解答：解：（1）由題意知，本題是一個(gè)古典概型，
試驗(yàn)發(fā)生包含的所有的排列種數(shù)有A₅⁵=120個(gè)．
滿足a₁＜a₂，a₂＞a₃，a₃＜a₄，a₄＞a₅的排列中，
若a₁，a₃，a₅取集合{1，2，3}中的元素，a₂，a₄取集合{4，5}中的元素，都符合要求，有A₃³A₂²=12個(gè)．
若a₁，a₃，a₅取集合{1，2，4}中的元素，a₂，a₄取集合{3，5}中的元素，
這時(shí)符合要求的排列只有1，3，2，5，4；2，3，1，5，4；4，5，1，3，2；4，5，2，3，1共4個(gè)．
故滿足條件的概率．
（2）隨機(jī)變量ξ可以取0，1，2，3，5．
，
，
，
，
．
∴ξ的分布列為

∴ξ的數(shù)學(xué)期望．
點(diǎn)評(píng)：求離散型隨機(jī)變量的分布列和期望是近年來(lái)理科高考必出的一個(gè)問(wèn)題，題目做起來(lái)不難，運(yùn)算量也不大，只要注意解題格式就問(wèn)題不大．