Question

5．已知f（α）=$\frac{sin（\frac{π}{2}-α）+sin（-π-α）}{3cos（2π+α）+cos（\frac{3π}{2}-α）}=3$
（1）求$\frac{sinα-3cosα}{sinα+cosα}$的值；
（2）若圓C的圓心在x軸上，圓心到直線l：y=tanα•x的距離為$\sqrt{5}$且直線l被圓所截弦長為$2\sqrt{2}$，求圓C的方程．

Answer 1

分析 （I）利用誘導公式對已知等式進行化簡得到$\frac{cosα+sinα}{3cosα-sinα}$=3，則sinα=2cosα，代入所求的代數式進行求值；
（II）利用圓心，半徑（圓心到直線y=2x的距離為2$\sqrt{2}$）、半弦長、弦心距的勾股定理關系，求出圓心坐標，然后求出圓C的標準方程．

解答 解：（1）由f（α）=$\frac{sin（\frac{π}{2}-α）+sin（-π-α）}{3cos（2π+α）+cos（\frac{3π}{2}-α）}$=$\frac{cosα+sinα}{3cosα-sinα}$=3，
得sinα=2cosα，
∴$\frac{sinα-3cosα}{sinα+cosα}$=$\frac{2cosα-3cosα}{2cosα+cosα}$=-$\frac{1}{3}$；
（2）由（1）知，sinα=2cosα，則tanα=2，
可得直線l的方程為2x-y=0．
設圓C的方程為（x-a）²+y²=r²（r＞0），則r=$\sqrt{（\frac{2\sqrt{2}}{2}）^{2}+（\sqrt{5}）^{2}}$=$\sqrt{7}$，
由$\frac{|2a-0|}{\sqrt{{2}^{2}+（-1）^{2}}}$=$\sqrt{5}$得a=±$\frac{5}{2}$，
∴圓C的方程是（x±$\frac{5}{2}$）²+y²=7．

點評 本題考查了同角三角函數基本關系的應用、點到直線的距離、直線與圓的關系，考查了同學們解決直線與圓問題的能力．