Question

（1）已知函數f（x）=cos²（x+

π

12

），g（x）=1+

1

2

sin2x．設x=x₀是函數y=f（x）圖象的一條對稱軸，
    求g（x₀）的值．
（2）已知函數f（x）=x²-ax+4x+4-a在x∈[0，3]時，f（x）＞0成立，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：基本不等式,二倍角的余弦,余弦函數的圖象

專題：三角函數的圖像與性質,不等式的解法及應用

分析：（1）由題設知f(x)=

1

2

[1+cos(2x+

π

6

)]．x=x₀是函數y=f（x）圖象的一條對稱軸，可得2x0+

π

6

=kπ，即2x0=kπ-

π

6

（k∈Z）．代入g（x）即可．
（2）由x²-ax+4x+4-a＞0，x∈[0，3]成立，分離參數利用基本不等式的性質即可得出．

解答： 解：（1）由題設知f(x)=

1

2

[1+cos(2x+

π

6

)]．
∵x=x₀是函數y=f（x）圖象的一條對稱軸，
∴2x0+

π

6

=kπ，即2x0=kπ-

π

6

（k∈Z）．
∴g(x0)=1+

1

2

sin2x0=1+

1

2

sin(kπ-

π

6

)．
當k為偶數時，g(x0)=1+

1

2

sin(-

π

6

)=1-

1

4

=

3

4

，
當k為奇數時，g(x0)=1+

1

2

sin

π

6

=1+

1

4

=

5

4

．
（2）∵x²-ax+4x+4-a＞0，x∈[0，3]成立，
∴a＜

x2+4x+4

x+1

=

(x+1)2+2(x+1)+1

x+1

=x+1+

1

x+1

+2，
∵x+1+

1

x+1

+2≥4（x=0時取“二”），∴a＜4．

點評：本題考查了倍角公式、三角函數的圖象與性質、基本不等式的性質、分離參數方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．