Question

邊長為a的等邊三角形內任一點到三邊距離之和為定值，這個定值等于

 

；將這個結論推廣到空間是：棱長為a的正四面體內任一點到各面距離之和等于

 

．

Answer 1

考點：類比推理

專題：綜合題,推理和證明

分析：由平面圖形的性質向空間物體的性質進行類比時，常用的思路有：由平面圖形中點的性質類比推理出空間里的線的性質，由平面圖形中線的性質類比推理出空間中面的性質，由平面圖形中面的性質類比推理出空間中體的性質．固我們可以根據已知中平面幾何中，關于線的性質“正三角形內任意一點到三邊距離之和是一個定值”，推斷出一個空間幾何中一個關于面的性質．

解答： 解：在邊長為a的正三角形內任一點到三邊的距離之和為定值

3

2

a，
在一個正四面體中，計算一下棱長為a的三棱錐內任一點到各個面的距離之和，
如圖：
由棱長為a可以得到BF=

3

2

a，BO=AO=

6

3

a-OE，
在直角三角形中，根據勾股定理可以得到
BO²=BE²+OE²，
把數據代入得到OE=

6

12

a，
∴棱長為a的三棱錐內任一點到各個面的距離之和4×

6

12

a=

6

3

a，
故答案為：

3

2

a，

6

3

a．

點評：本題是基礎題，考查類比推理及正四面體的體積的計算，轉化思想的應用，考查空間想象能力，計算能力．