【題目】已知一個正四面體和一個正四棱錐，它們的各條棱長均相等，則下列說法：
①它們的高相等；②它們的內切球半徑相等；③它們的側棱與底面所成的線面角的大小相等；④若正四面體的體積為
，正四棱錐的體積為
，則
；⑤它們能拼成一個斜三棱柱.其中正確的個數為（ ）
A.1個B.2個C.3個D.4個
【答案】B
【解析】
①，正四面體的高
，正四棱錐的高
，所以該命題錯誤；
②，設正四面體的內切球半徑為
.設正四棱錐的內切球半徑為
則
.所以該命題不正確；
③，在正四面體中，
就是側棱和底面所成的角，
.在正四棱錐中，
就是側棱和底面所成的角，
，所以該命題不正確；
④，計算得
.所以該命題正確；
⑤，把一個斜三棱柱分解成一個正四面體和正四棱錐，所以該命題正確.
設正四面體和正四棱錐的棱長都為
，
①，
,
所以正四面體的高
.
如圖，正四棱錐的棱長都為2，它的高
,
所以該命題不正確；
②，設正四面體的內切球半徑為
則
，所以.
設正四棱錐的內切球半徑為則
,所以.
所以該命題不正確；
③，在正四面體中，就是側棱和底面所成的角，.
在正四棱錐中，就是側棱和底面所成的角，，
所以該命題不正確；
④，若正四面體的體積為
，
，
正四棱錐的體積為
，
，則.
所以該命題正確；
⑤，如圖，是一個斜三棱柱，其中四棱錐
是一個棱長都為2的正四棱錐，四面體
是棱長都為2的正四面體，所以它們能拼成一個斜三棱柱.所以該命題正確.
故選：B.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
，以橢圓的頂點為頂點的四邊形的面積為
，且該四邊形內切圓的半徑為
.
（1）求橢圓的方程；
（2）設
是過橢圓中心的任意一條弦，直線
是線段的垂直平分線，若
是直線與橢圓的一個交點，求
面積的最小值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某社區組織“學習強國”的知識競賽，從參加競賽的市民中抽出40人，將其成績分成以下6組：第1組
，第2組
，第3組
，第4組
，第5組
，第6組
，得到如圖所示的頻率分布直方圖．現采用分層抽樣的方法，從第2，3，4組中按分層抽樣抽取8人，則第2，3，4組抽取的人數依次為（ ）
A.1，3，4B.2，3，3C.2，2，4D.1，1，6
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】半正多面體亦稱“阿基米德多面體”，是由邊數不全相同的正多邊形為面組成的多面體.如將正四面體所有棱各三等分，沿三等分點從原幾何體割去四個小正四面體如圖所示，余下的多面體就成為一個半正多面體，若這個半正多面體的棱長為2，則這個半正多面體的體積為______.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某中學設計一項綜合學科的考查方案：考生從6道備選題中一次性隨機抽取三道題，按照題目要求獨立完成全部實驗操作，已知在6道備選題中，考生甲有4道題能正確完成，兩道題不能正確完成；考生乙每道題正確完成的概率都是
，且每道題正確完成與否互不影響．
（1）分別寫出甲、乙兩考生正確完成題數的概率分布列；
（2）分別求甲、乙兩考生正確完成題數的數學期望.
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【題目】選修4-4：坐標系與參數方程
在平面直角坐標系
中，曲線
的參數方程為
（
，
為參數），以坐標原點
為極點，以
軸正半軸為極軸，建立極坐標系，直線
的極坐標方程
．
（1）若曲線與只有一個公共點，求
的值；
（2）
為曲線上的兩點，且
，求
的面積最大值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在一次數學考試中，從甲，乙兩個班級各抽取10名同學的成績進行統計分析，他們成績的莖葉圖如圖所示，成績不小于90分為及格．
（1）從兩班10名同學中各抽取一人，在有人及格的情況下，求乙班同學不及格的概率；
（2）從甲班10人中取一人，乙班10人中取兩人，三人中及格人數記為
，求的分布列和數學期望．
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