Question

【題目】半正多面體亦稱“阿基米德多面體”，是由邊數(shù)不全相同的正多邊形為面組成的多面體.如將正四面體所有棱各三等分，沿三等分點(diǎn)從原幾何體割去四個(gè)小正四面體如圖所示，余下的多面體就成為一個(gè)半正多面體，若這個(gè)半正多面體的棱長為2，則這個(gè)半正多面體的體積為______.

Answer 1

【答案】

【解析】

設(shè)原正四面體為，可知其棱長為，再求出，，的長度，在中，求出正四面體的高，根據(jù)錐體體積公式求出原正四面體為的體積；同理可求出從原幾何體中割去的其中一個(gè)小正四面體的體積，再根據(jù)，即可求出這個(gè)半正多面體的體積.

設(shè)原正四面體為，如下圖所示：

由題意可知，正四面體的棱長，設(shè)為底面的中心，是邊中點(diǎn)，則正四面體的高，則

所以在中，，

所以原正四面體為的體積為；

設(shè)從原幾何體中割去的其中一個(gè)小正四面體為，如下圖所示：

則小正四面體的棱長，設(shè)為底面的中心，是邊中點(diǎn)，則小正四面體的高，則

所以在中，，

所以小正四面體為的體積為；

所以從原幾何體中割去四個(gè)小正四面體體積為，

所以這個(gè)半正多面體的體積為.

故答案為：.