Question

【題目】已知橢圓的短軸長為，過點，的直線傾斜角為.

（1）求橢圓的方程；

（2）是否存在過點且斜率為的直線，使直線交橢圓于兩點，以為直徑的圓過點？若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，直線的方程為

【解析】

（1）由短軸長為，可得，由過點，的直線傾斜角為可得，解出可得橢圓方程；

（2）假設存在實數滿足題意，聯立直線方程和橢圓方程，消去，運用韋達定理，以及，又，，化簡整理，解出，注意檢驗判別式是否等于0，即可判斷.

（1）由橢圓的短軸長為，可得，

∵過點，的直線傾斜角為，

∴，解得，

∴橢圓的方程.

（2）假設存在實數，滿足題意，此時直線的方程為，

將代入橢圓方程，得，

設，，以為直徑的圓過點，

則，即，

又，，得，

又，，

代入上式可得，解得，

此時代入，滿足題意，

故存在滿足題意，

此時直線的方程為.