Question

證明函數f(x)=

3

x-2

在區間（-∞，2）上是減函數．

Answer 1

分析：設x₁、x₂∈（-∞，2），且x₁＜x₂，將f（x₁）與f（x₂）作差，通分分解得

3(x2-x1)

(x1-2)(x2-2)

，再討論各因式的正負，可得f（x₁）＞f（x₂），從而使函數的單調性等到證明．

解答：解：設x₁、x₂∈（-∞，2），且x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=

3

x1-2

-

3

x2-2

=

3(x2-x1)

(x1-2)(x2-2)

∵x₁、x₂∈（-∞，2），∴x₁-2＜0，x₂-2＜0
又∵x₁＜x₂，
∴3（x₂-x₁）＞0，可得

3(x2-x1)

(x1-2)(x2-2)

＞0
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，得f（x₁）＞f（x₂）
因此，函數f(x)=

3

x-2

在區間（-∞，2）上是減函數．

點評：本題通過證明一個分式函數的單調性，考查了函數單調性的判斷與證明的知識，屬于基礎題．