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①證明函數f(x)=
2x2-1
在區間[2，+∞）是增函數．
②證明函數f(x)=
2x+7
x+3
在區間（-3，+∞）上是減函數．
分析：①由于二次函數 t=2 x2-1 在區間[2，+∞）是增函數，且t≥7，故函數f(x)=
2x2-1
在區間[2，+∞）是增函數．
②由于 f(x)=
2x+7
x+3
=2+
1
x+3
，設 x2＞x1＞-3，可得f（x2）-f（x1）=
x1-x2
(x1+3)(x2+3)
＜0，從而函數f(x)=
2x+7
x+3
在區間（-3，+∞）上是減函數．
解答：解：①證明：由于當x≥2時，令 t=2x2-1，則 t≥7，∴f(x)=
2x2-1
=
t
≥
7
．
由于二次函數 t=2 x2-1 在區間[2，+∞）是增函數，且t≥7，故函數f(x)=
2x2-1
在區間[2，+∞）是增函數．
②∵f(x)=
2x+7
x+3
=2+
1
x+3
，設 x2＞x1＞-3，可得f（x2）-f（x1）=2+
1
x2+3
-（2+
1
x1+3
）
=
x1-x2
(x1+3)(x2+3)
＜0，
故函數f(x)=
2x+7
x+3
在區間（-3，+∞）上是減函數．
點評：本題主要考查證明函數的單調性的方法，體現了轉化的數學思想，屬于基礎題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知不等式（x-1）2≤a2，（a＞0）的解集為A，函數f(x)=lg
x-2
x+2
的定義域為B．
（Ⅰ）若A∩B=φ，求a的取值范圍；
（Ⅱ）證明函數f(x)=lg
x-2
x+2
的圖象關于原點對稱．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f(x)=
1
x
-2．
（1）求f（x）的定義域和值域；
（2）證明函數f(x)=
1
x
-2在（0，+∞）上是減函數．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（1）證明函數f(x)=
1
x
的奇偶性．
（2）用單調性的定義證明函數f(x)=
1
x
在（0，+∞）上是減函數．

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科目：高中數學 來源： 題型：

用定義法證明函數f(x)=x+
9x
在區間[3，+∞）上為增函數．

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科目：高中數學 來源： 題型：

探究f(x)=x+
1
x
，x∈(0，+∞)的最小值，并確定相應的x的值，類表如下：
x
…
1
4
1
3
1
2
 1 2 3 4
…
y
…
17
4
10
3
5
2
 2
5
2
10
3
17
4
…
請觀察表中y值隨x值變化的特點，完成下列的問題：
（1）若x1x2=1，則f（x1）
 
f（x2）（請 用“＞”、“＜”或“=”填上）；若函數f(x)=x+
1
x
，(x＞0)在區間（0，1）上單調遞減，則在區間
 
上單調遞增．
（2）當x=
 
時，f(x)=x+
1
x
，(x＞0)的最小值為
 
．
（3）證明函數f(x)=x+
1
x
在區間（1，+∞）上為單調增函數．

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