Question

設橢圓的焦點為F₁、F₂，以F₁F₂為直徑的圓與橢圓的一個交點為P，若|F₁F₂|=2|PF₂|，則橢圓的離心率為

3

-1

．

Answer 1

分析：先根據題意和圓的性質可判斷出△PF₁F₂為直角三角形，根據|F₁F₂|=2|PF₂|，推斷出∠PF₂F₁=60°，進而可求得PF₁和PF₂，進而利用橢圓的定義求得a和c的關系，則橢圓的離心率可得．

解答：解：由題意△PF₁F₂為直角三角形，且∠P=90°，∠PF₂F₁=60°，F₁F₂=2c，
∴PF₂=c，PF₁=

3

c，由橢圓的定義知
，PF₁+PF₂=c+

3

c=2a，
∴離心率為e=

c

a

=

3

-1．
故答案為：

3

-1．

點評：本題主要考查了橢圓的簡單性質．橢圓的離心率是橢圓基本知識中重要的內容，求離心率的關鍵是通過挖掘題設信息求得a和c的關系．