Question

1．在區間[0，π]上隨機取一個數θ，則使$\sqrt{2}≤\sqrt{2}sinθ+\sqrt{2}cosθ≤2$成立的概率為$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 利用三角函數的輔助角公式求出$\sqrt{2}≤\sqrt{2}sinθ+\sqrt{2}cosθ≤2$的等價條件，利用幾何概型的概率公式即可得到結論．

解答 解：由$\sqrt{2}≤\sqrt{2}sinθ+\sqrt{2}cosθ≤2$得$\frac{\sqrt{2}}{2}$≤sin（θ+$\frac{π}{4}$）≤1，
∵0≤θ≤π，
∴當0≤θ≤$\frac{π}{4}$，
則“$\sqrt{2}≤\sqrt{2}sinθ+\sqrt{2}cosθ≤2$”發生的概率P=$\frac{1}{2}$．
故答案為$\frac{1}{2}$．

點評 本題主要考查幾何概型的概率的計算，利用輔助角公式求出不等式的等價條件是解決本題的關鍵．