Question

【題目】已知實數a，b，c，d滿足 =1，其中e是自然對數的底數，則（a﹣c）2+（b﹣d）2的最小值為（ ）
A.4
B.8
C.12
D.18

Answer 1

【答案】B
【解析】解：∵實數a，b，c，d滿足 =1，∴b=a﹣2ea ， d=2﹣c， ∴點（a，b）在曲線y=x﹣2ex上，點（c，d）在曲線y=2﹣x上，
（a﹣c）2+（b﹣d）2的幾何意義就是曲線y=x﹣2ex到曲線y=2﹣x上點的距離最小值的平方．
考查曲線y=x﹣2ex上和直線y=2﹣x平行的切線，
∵y′=1﹣2ex ， 求出y=x﹣2ex上和直線y=2﹣x平行的切線方程，
∴令y′=1﹣2ex=﹣1，
解得x=0，∴切點為（0，﹣2），
該切點到直線y=2﹣x的距離d= 就是所要求的兩曲線間的最小距離，
故（a﹣c）2+（b﹣d）2的最小值為d2=8．
故選：B．
由已知得點（a，b）在曲線y=x﹣2ex上，點（c，d）在曲線y=2﹣x上，（a﹣c）2+（b﹣d）2的幾何意義就是曲線y=x﹣2ex到曲線y=2﹣x上點的距離最小值的平方．由此能求出（a﹣c）2+（b﹣d）2的最小值．