Question

3．已知等差數列{a_n}的前n項和為S_n，且a₆=0，S₄=14．
（1）求a_n；
（2）將a₂，a₃，a₄，a₅去掉一項后，剩下的三項按原來的順序恰為等比數列{b_n}的前三項，求數列{a_nb_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用等差數列的通項公式及其前n項和公式結合已知列式求得首項和公差，則a_n可求；
（2）由（1）知數列{a_n}的前5項為5，4，3，2，1，可知：等比數列{b_n}的前3項為4，2，1．首項為4，公比為$\frac{1}{2}$，可得b_n．利用“錯位相減法”可得T_n ．

解答 解：（1）設等差數列{a_n}的首項為a₁，公差為d，
由a₆=0，S₄=14，得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+5d=0}\\{4{a}_{1}+6d=14}\end{array}\right.$，解得a₁=5，d=-1．
∴a_n=5-（n-1）=6-n；
（2）由（1）知數列{a_n}的前5項為5，4，3，2，1，
∴等比數列{b_n}的前3項為4，2，1，
首項為4，公比為$\frac{1}{2}$．
∴${b}_{n}=4•（\frac{1}{2}）^{n-1}$，
∴${a}_{n}{b}_{n}=4（6-n）•（\frac{1}{2}）^{n-1}$，
數列{a_nb_n}的前n項和T_n，
則$\frac{1}{4}{T}_{n}=5+4•\frac{1}{2}+3•（\frac{1}{2}）^{2}+…+$（6-n）•$（\frac{1}{2}）^{n-1}$，
$\frac{1}{8}{T}_{n}$=5$•\frac{1}{2}$+4$•（\frac{1}{2}）^{2}$+…+（7-n）•$（\frac{1}{2}）^{n-1}$+（6-n）•$（\frac{1}{2}）^{n}$，
∴$\frac{1}{8}{T}_{n}$=5-[$\frac{1}{2}+（\frac{1}{2}）^{2}+…+（\frac{1}{2}）^{n-1}$]-（6-n）•$（\frac{1}{2}）^{n}$
=5-$\frac{\frac{1}{2}[1-（\frac{1}{2}）^{n-1}]}{1-\frac{1}{2}}-（6-n）•（\frac{1}{2}）^{n}$=4+（n-4）$•（\frac{1}{2}）^{n}$．
∴${T}_{n}=32+8（n-4）•（\frac{1}{2}）^{n}$．

點評 本題考查了等差數列與等比數列的通項公式及其前n項和公式，訓練了錯位相減法求數列的通項公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．