Question

如圖，已知BC=DC=AB=AD=

2

，BD=2，平面ABD⊥平面BCD，O為BD中點，點P，Q分別為線段AO，BC上的動點（不含端點），且AP=CQ，則三棱錐P-QCO體積的最大值為

 

．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積

專題：空間位置關系與距離

分析：由已知得AO⊥平面BCD，AO=OC=1，∠OCB=45°，設AP=x（0＜x＜1），三棱錐P-QCO體積V=

1

3

×OP×S△OCQ=

1

3

(1-x)•

2

4

x≤

2

12

(

x+1-x

2

)2=

2

48

．由此能求出三棱錐P-QCO體積的最大值．

解答： 解：如圖所示，
∵BC=DC=AB=AD=

2

，
平面ABD⊥平面BCD，O為BD的中點，
∴AO⊥平面BCD，AO=OC=1，∠OCB=45°，
設AP=x（0＜x＜1），
∴S_△OCQ=

1

2

×OC×CQ×sin45°
=

1

2

×1×x×sin45°=

2

4

x，
∴三棱錐P-QCO體積：
V=

1

3

×OP×S△OCQ=

1

3

(1-x)•

2

4

x
=

2

12

x(1-x)≤

2

12

x(1-x)≤

2

12

(

x+1-x

2

)2=

2

48

．
當且僅當x=

1

2

時取等號，
∴三棱錐P-QCO體積的最大值為

2

48

．
故答案為：

2

48

．

點評：本題考查三棱錐P-QCO體積的最大值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養．