Question

11．如圖，△ABC是等邊三角形，點D在邊BC的延長線上，且BC=2CD，AD=$\sqrt{7}$．
（Ⅰ）求$\frac{sin∠CAD}{sin∠D}$的值；
（Ⅱ）求CD的長．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由等邊三角形的性質及已知可得AC=2CD，進而利用正弦定理即可得解$\frac{sin∠CAD}{sin∠D}$的值為$\frac{1}{2}$．
（Ⅱ）設CD=x，則可求BC=2x，BD=3x，利用余弦定理即可解得x的值，進而得解CD的值．

解答 （本題滿分為13分）
解：（Ⅰ）∵△ABC是等邊三角形，∴AC=BC，
又∵BC=2CD，∴AC=2CD，
∴在△ACD中，由正弦定理可得：$\frac{CD}{sin∠CAD}=\frac{AC}{sin∠D}$，
∴$\frac{sin∠CAD}{sin∠D}$=$\frac{CD}{AC}$=$\frac{1}{2}$．
（Ⅱ）設CD=x，則BC=2x，
∴BD=3x，
∵△ABD中，AD=$\sqrt{7}$，AB=2x，∠B=$\frac{π}{3}$，
∴由余弦定理可得：AD²=AB²+BD²-2AB•BD•cos∠B，
即：7=4x²+9x²-2x×3x，解得：x=1，
∴CD=1．

點評 本題主要考查了等邊三角形的性質，正弦定理，余弦定理在解三角形中的綜合應用，考查了轉化思想和數形結合思想，屬于基礎題．