Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的右焦點為F（1，0），短軸的一個端點B到F的距離等于焦距．
（Ⅰ）求橢圓C方程；
（Ⅱ）過點F的直線l與橢圓C交于不同的兩點M，N，是否存在直線l，使得△BFM與△BFN的面積之比為1？若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：計算題,分類討論,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（I）由題意可得c=1，a=2c，再由a，b，c的關系，即可得到橢圓方程；
（II）①當直線l的斜率不存在時，②當直線l的斜率存在時，設為k，此時直線l的方程為y=k（x-1），
聯立直線方程和橢圓方程，消去y，得到x的方程，運用韋達定理和中點坐標公式，解方程，即可得到k．

解答： 解：（I） 由題意知

a2=b2+c2 c=1 a=2c

，解得a²=4，b²=3，
所求橢圓C的方程為

x2

4

+

y2

3

=1；
（II）①當直線l的斜率不存在時，此時直線l的方程為x=1，
由

x=1 x2 4 + y2 3 =1

，解得

x1=1 y1= 3 2

或

x2=1 y2=- 3 2

，
即M(1，

3

2

)，N(1，-

3

2

)，而B(0，

3

)，F（1，0），
易知△BFM與△BFN的面積之比為1；所以，直線x=1滿足題意．
②當直線l的斜率存在時，設為k，此時直線l的方程為y=k（x-1），
設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
由

x2 4 + y2 3 =1 y=k(x-1)

，消去x得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0，
所以x1+x2=-

8k2

3+4k2

，△BFM與△BFN的面積之比為1，則F為MN的中點．
所以

x1+x2

2

=1，即x1+x2=-

8k2

3+4k2

=2，
化簡得8k²+3=0，此方程無解．
綜上，直線l：x=1，使得△BFM與△BFN的面積之比為1成立．

點評：本題考查橢圓的方程和性質，考查直線方程和橢圓方程聯立，消去未知數，運用韋達定理和中點坐標公式，考查分類討論的思想方法，考查運算能力，屬于中檔題和易錯題．