Question

如圖是一副直角三角板．現將兩三角板拼成直二面角，得到四面體ABCD，則下列敘述中正確的是．

 

①

BD

•

AC

=0；
②平面BCD的法向量與平面ACD的法向量垂直；
③異面直線BC與AD所成的角為60°；
④四面體有外接球；
⑤直線DC與平面ABC所成的角為30°．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：簡易邏輯

分析：根據直線和平面垂直的判定定理可得BD⊥平面ABC，可得①正確．
根據平面BCD與平面ACD不垂直，可得②不正確．
過點C作CM和BD平行且相等，可得∠FEG為異面直線BC與AD所成的角，求得cos∠ADM的值，可得③不正確．
由任何空間四面體都有外接球，可得④正確；
由條件求得∠DCB為直線DC與平面ABC所成的角，可得⑤正確．

解答： 解：將兩三角板拼成直二面角，故平面ABC⊥平面BCD，
∵BD⊥BC，平面ABC∩平面BCD=BC，BD?平面BCD，故BD⊥平面ABC，進而BD⊥AC，故

BD

•

AC

=0，即①正確；
平面BCD與平面ACD不垂直，故兩個平面的法向量不可能垂直，故②錯誤；
設AB=AC=2，則 BC=2

2

，BD=BCtan30°=

2 6

3

．
過點C作CM和BD平行且相等，則由題意可得BDMC為矩形，
∴∠ADM（或其補角）為異面直線BC與AD所成的角．
求得AD=CM=

BD2+AB2

=

2 15

3

．
等腰三角形ADM中，cos∠ADM=

1 2 DM

AD

=

30

10

，故銳角∠ADM 不等于60°，故③不正確．
任何空間四面體都有外接球，故④正確；
由BD⊥平面ABC 可得BC為DC在平面ABC內的射影，∴∠DCB=30°為直線DC與平面ABC所成的角，故⑤正確．
綜上可得，只有①④⑤正確，
故答案為：①④⑤

點評：本題主要考查平面圖形的翻折問題，直線和平面垂直的判定與性質，直線和平面所成的角、異面直線所成的角的定義和求法，屬于中檔題．