Question

【題目】已知拋物線:（）上橫坐標為4的點到焦點的距離為5．

（1）求拋物線的方程；

（2）設直線與拋物線交于不同兩點，若滿足，證明直線恒過定點，并求出定點的坐標．

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析，.

【解析】

（1）求出拋物線的準線方程，利用拋物線定義，可得的方程，即可得出拋物線的方程；

（2）方法一：設，，由得，進行坐標運算并化簡整理，運用直線的斜率公式和直線方程，以及直線恒過定點的求法，可得所求定點坐標.

方法二：設，，設直線：（），與拋物線方程聯立，由韋達定理得到根與系數的關系，而，則，代入坐標進行運算并解出，進行檢驗后可得直線方程，由此可得直線恒過定點以及定點坐標.

解：（1）拋物線:（）的準線方程為，

由拋物線的定義得，，

解得，

所以拋物線方程為.

（2）方法一：設，，，且，皆不為，

，

，即，

，

又，，

直線斜率為，

直線方程為：，

即為，

直線恒過定點，

直線恒過定點，定點坐標為.

方法二：設，，

由條件可知直線的斜率不為0，可設直線：（），

代入,得：，

，，，

，

，

即，

，

，

，符合，

直線：，則直線恒過定點，

直線恒過定點，定點坐標為.