Question

【題目】如圖，已知點是軸左側（不含軸）一點，拋物線上存在不同的兩點、，滿足、的中點均在拋物線上.

（1）求拋物線的焦點到準線的距離；

（2）設中點為，且，，證明：；

（3）若是曲線（）上的動點，求面積的最小值.

Answer 1

【答案】（1）2；（2）證明見解析；（3）.

【解析】

（1）直接利用拋物線定義得到答案.

（2）設，，，根據中點在拋物線上得到

，同理得到是二次方程的兩不等實根，計算得到答案.

（3）設，代換得到計算得到答案.

（1）焦點坐標為（1,0），準線方程為x＝－1，所以，焦點到準線的距離為2.

（2）設，，，

則中點為，

由中點在拋物線上可得，

化簡得，顯然，

且對也有，

所以是二次方程的兩不等實根，

所以，.

（3），

由（1）可得，，

，

此時在半橢圓上，

∴，

∵，∴，

∴，

，

所以，

，所以，

即的面積的最小值是.