【題目】有一容積為
的正方體容器
，在棱
、
和面對角線
的中點(diǎn)各有一小孔
、
、
，若此容器可以任意放置，則其可裝水的最大容積是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
分別討論水面過直線
、
、
時從正方體截去的幾何體體積的最小值，即可得出此容器可裝水的最大容積.
當(dāng)水面過直線時，如下圖所示，
水面截去正方體
所得幾何體為三棱柱
，
當(dāng)點(diǎn)
在水面上方或水面上時，容器中的水不會漏，且當(dāng)點(diǎn)
與點(diǎn)重合時，截去的幾何體體積最小為
；
當(dāng)水面過直線時，如下圖所示，
水面截去正方體所得幾何體為三棱臺
，
當(dāng)點(diǎn)
在水面上方或水面上時，容器中的水不會漏，且當(dāng)點(diǎn)在直線
上時，截去的幾何體為三棱柱，且體積最小為；
當(dāng)水面過直線時，如下圖所示，
當(dāng)點(diǎn)
在水面上方或水面上時，容器中的水不會漏，此時水面截去正方體所得幾何體為
，且直線
過點(diǎn)，易知梯形
的面積為正方形
面積的一半，此時，幾何體的體積為
.
當(dāng)與直線
重合時，如下圖所示，
此時，點(diǎn)在水面上方，容器不會漏水，水面截去正方體所得幾何體為三棱錐
，
該三棱錐的體積為
.
綜上可知，水面截去截去正方體所得幾何體體積的最小值為
.
因此，該容器可裝水的最大容積是
.
故選：C.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】對于數(shù)列
，定義
， 
．
(1) 若
，是否存在
，使得
？請說明理由；
(2) 若
， 
，求數(shù)列
的通項(xiàng)公式；
(3) 令
，求證：“
為等差數(shù)列”的充要條件是“
的前4項(xiàng)為等差數(shù)列，且
為等差數(shù)列”．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知數(shù)列
是公差不為0的等差數(shù)列，
，數(shù)列
是等比數(shù)列，且
，
，
，數(shù)列的前n項(xiàng)和為
．
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)
，求
的前n項(xiàng)和
；
（3）若
對
恒成立，求
的最小值．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】如圖，已知點(diǎn)
是
軸左側(cè)（不含軸）一點(diǎn)，拋物線
上存在不同的兩點(diǎn)
、
，滿足
、
的中點(diǎn)均在拋物線
上.
（1）求拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離；
（2）設(shè)
中點(diǎn)為
，且
，
，證明：
；
（3）若是曲線
（
）上的動點(diǎn)，求
面積的最小值.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知函數(shù)
.
（1）求證：對任意實(shí)數(shù)
，都有
；
（2）若
，是否存在整數(shù)
，使得在
上，恒有
成立？若存在，請求出的最大值；若不存在，請說明理由.（
）
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】在
中，內(nèi)角A，B，C所對的邊長分別是a，b，c.
（1）若
,
，且的面積為
，求
的值；
（2）若
，試判斷△ABC的形狀．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知曲線
的方程為
，過原點(diǎn)作斜率為
的直線和曲線相交，另一個交點(diǎn)記為
，過作斜率為
的直線和曲線相交，另一個交點(diǎn)記為
，過作斜率為
的直線和曲線相交，另一個交點(diǎn)記為
，……，如此下去，一般地，過
作斜率為
的直線和曲線相交，另一個交點(diǎn)記為
，設(shè)點(diǎn)
.
（1）指出
，并求
與
的關(guān)系式
；
（2）求
的通項(xiàng)公式，并指出點(diǎn)列，，……，
，……向哪一點(diǎn)無限接近？說明理由；
（3）令
，數(shù)列
的前
項(xiàng)和為
，設(shè)
，求所有可能的乘積
的和.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知四棱錐
中，側(cè)面
底面
，
，
是邊長為2的正三角形底面是菱形，點(diǎn)
為
的中點(diǎn)
（1）求證：
平面
；
（2）求二面角
的余弦值.
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