Question

【題目】已知橢圓長軸的一個(gè)端點(diǎn)是拋物線的焦點(diǎn)，且橢圓焦點(diǎn)與拋物線焦點(diǎn)的距離是1。

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若是橢圓的左右端點(diǎn)，為原點(diǎn)，是橢圓上異于的任意一點(diǎn)，直線分別交軸于，問是否為定值，說明理由。

Answer 1

【答案】（1）；（2）為定值，理由見解析.

【解析】

（1）根據(jù)拋物線的焦點(diǎn)求得，根據(jù)橢圓焦點(diǎn)與拋物線焦點(diǎn)的距離求得，由此求得，進(jìn)而求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

（2）設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo)，求得直線的方程，由此求得兩點(diǎn)的坐標(biāo)，代入化簡，證得為定值.

（1）依題意可知，拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，故，由于橢圓焦點(diǎn)與拋物線焦點(diǎn)的距離是，而，故.所以.所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

（2）設(shè)，代入橢圓方程并化簡得，且.所以直線：，直線：，令分別代入直線的方程，求得，所以為定值.