Question

有幾個圓，任意兩個圓都相交于兩點，任意三個圓不相交于同一點，求證這幾個圓將平面分成f(n)=n²-n+2個部分.（n∈N₊）

Answer 1

思路分析：因為f(n)為n個圓把平面分割成的區域數，那么再有一個圓和這n個圓相交，就有2n個交點，這些交點將增加的這個圓分成2n段弧，且每一段弧又將原來的平面區域一分為二，因此，增加一個圓后，平面分成的區域數增加2n個，即f(n+1)=f(n)+2n.

有了上述關系，數學歸納法的第二步證明可迎刃而解.

證明：（1）當n=1時，一個圓將平面分成兩個部分，且f(1)=1-1+2=2,所以n=1時命題成立.

(2)假設n=k(k≥1)時命題成立，即k個圓把平面分成f(k)=k²-k+2個部分.

則n=k+1時，在k+1個圓中任取一個圓O，剩下的k個圓將平面分成f(k)個部分，而圓O與k個圓有2k個交點，這2k個點將圓O分成2k段弧，每段弧將原平面一分為二，故得f(k+1)=f(k)+2k=k²-k+2+2k=(k+1)²-(k+1)+2.

∴當n=k+1時,命題成立.

綜上（1）（2）可知，對一切n∈N₊，命題成立.