Question

有幾個圓，任意兩個圓都相交于兩點，任意三個圓不相交于同一點，求證這幾個圓將平面分成f(n)＝n²－n＋2個部分．(n∈N₊)

Answer 1

答案：
解析：

證明：(1)當n＝1時，一個圓將平面分成兩個部分，且f(1)＝1－1＋2＝2，所以n＝1時命題成立． 　　(2)假設n＝k(k≥1)時命題成立，即k個圓把平面分成f(k)＝k2－k＋2個部分． 　　則n＝k＋1時，在k＋1個圓中任取一個圓O，剩下的k個圓將平面分成f(k)個部分，而圓O與k個圓有2k個交點，這2k個點將圓O分成2k段弧，每段弧將原平面一分為二，故得f(k＋1)＝f(k)＋2k＝k2－k＋2＋2k＝(k＋1)2－(k＋1)＋2． 　　∴當n＝k＋1時，命題成立． 　　綜上(1)(2)可知，對一切n∈N+，命題成立． 　　思路分析：因為f(n)為n個圓把平面分割成的區域數，那么再有一個圓和這n個圓相交，就有2n個交點，這些交點將增加的這個圓分成2n段弧，且每一段弧又將原來的平面區域一分為二，因此，增加一個圓后，平面分成的區域數增加2n個，即f(n＋1)＝f(n)＋2n． 　　有了上述關系，數學歸納法的第二步證明可迎刃而解．

提示：

對于幾何問題的證明，可以從有限情形中歸納出一個變化的過程，或者說體會出是怎樣變化的，然后再去證明，也可以用“遞推”的辦法，比如說本題，n＝k＋1時的結果已知道：f(k＋1)＝(k＋1)2－(k＋1)＋2，用f(k＋1)－f(k)就可得到增加的部分，然后從有限的情況來理解如何增加的，也就好理解了．