Question

若△ABC的三個內角A、B、C成等差數列，試用綜合法和分析法證明

c

a+b

+

a

b+c

=1．

Answer 1

考點：綜合法與分析法(選修）

專題：分析法,綜合法

分析：求出角A，B，C的度數，再利用三角形的余弦定理，即可求解．

解答：證明：（分析法）
要證明

c

a+b

+

a

b+c

=1，
只需證明c（b+c）+a（a+b）=（a+b）（b+c），即證b²=a²+c²-ac．
∵A，B，C成等差數列，
∴A+C=2B；
又A+B+C=180°，
∴B=60°．
由余弦定理可知：
b²=a²+c²-2ac•cosB=a²+c²-ac．
綜上可知，

c

a+b

+

a

b+c

=1．

證明：（綜合法）
∵A，B，C成等差數列，
∴A+C=2B，
又A+B+C=180°，
∴B=60°．
由余弦定理可知：
b²=a²+c²-2ac•cosB=a²+c²-ac，
∴a²+c²=b²+ac，
∴

c

a+b

+

a

b+c

=

c•(b+c)+a•(a+b)

(a+b)(b+c)

=

a2+c2+ab+bc

b2+ab+ac+bc

=

b2+ab+ac+bc

b2+ab+ac+bc

=1．
綜上可知，

c

a+b

+

a

b+c

=1．

點評：本題主要考察了數學方法中的綜合法與分析法，以及三角形的余弦定理，屬于中檔題．