Question

【題目】如圖，矩形（），被截去一角（即），， ，平面平面， .

（1）求五棱錐的體積的最大值；

（2）在（1）的情況下，證明： .

Answer 1

【答案】（1）（2）見解析

【解析】試題分析：（1）過作，由面面垂直性質定理得平面，即為五棱錐的高，再利用平幾知識計算底面面積，由得在以為焦點，長軸長為的橢圓上，由橢圓的簡單的幾何性質知：點為短軸端點時， 到的距離最大，最后代入錐體體積公式即可，（2）過作，由面面垂直性質定理得平面，即得，再在平面內，根據平幾知識計算可得．最后根據線面垂直判定定理得平面，即得．

試題解析：（Ⅰ）解：因為， ，

所以， ，

所以截去的是等腰直角三角形，

所以．

如圖3，

過作，垂足為，

因為平面平面，平面平面， 平面，

所以平面， 為五棱錐的高．

在平面內， ， 在以為焦點，長軸長為的橢圓上，

由橢圓的簡單的幾何性質知：點為短軸端點時， 到的距離最大，

此時， ，（指出即可，未說明理由不扣分）

所以，

所以．

（Ⅱ）證明：連接，如圖，據（Ⅰ）知， ，故是等腰直角三角形，所以，

所以，即．

由于平面，所以，

而，所以平面，

平面，所以．