Question

【題目】如圖，設橢圓的中心為原點，長軸在軸上，上頂點為，左，右焦點分別為，線段的中點分別為，且 是面積為4的直角三角形.

（1）求該橢圓的離心率和標準方程；

（2）過做直線交橢圓于兩點，使，求直線的方程.

Answer 1

【答案】(1),;(2)和.

【解析】試題分析：（1）設所求橢圓的標準方程為，右焦點為F2（c，0）．已知△AB1B2是直角三角形，又|AB1|=|AB2|，故∠B1AB2=90°，可得c=2b，在Rt△AB1B2中，，從而a2=b2+c2=20．即可得到橢圓的方程．（2）由（1）得B1（﹣2，0），可設直線l的方程為x=my﹣2，代入橢圓的方程，得到根與系數的關系，利用PB2⊥QB2，，向量坐標化，得到關于m的方程，即可得到m．

(1)設所求橢圓的標準方程為，右焦點為.

因是直角三角形，又,故為直角，因此,得.

又得，故，所以離心率.

在中，，故

由題設條件，得，從而.

因此所求橢圓的標準方程為.

（2）由（1）知，由題意知直線的傾斜角不為0，故可設直線的方程為，代入橢圓方程得，

設，則

,

又，所以

由,得,即，解得，

所以直線方程分別為和.