Question

8．在平面直角坐標系xoy中，拋物線C：x²=4y．
（Ⅰ）如果直線l過拋物線的焦點，且與拋物線C相交于不同的兩點A，B，求$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$的值；
（Ⅱ）已知點Q（1，3），F為拋物線的焦點，在拋物線C上求一點P，使得|PF|+|PQ|取得最小值，并求出最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據拋物線的方程得到焦點的坐標，設出直線與拋物線的兩個交點和直線方程，是直線的方程與拋物線方程聯立，
得到關于y的一元二次方程，根據根與系數的關系，表達出兩個向量的數量積．
（Ⅱ）利用拋物線的定義可得|PF|+|PQ|=|PM|+|PQ|≥|QM|，故|QM|（Q到準線的距離）為所求．

解答 解：（Ⅰ）由題意：拋物線焦點F（0，1），設l：x=ty+1代入拋物線y²=4x消去x得，
y²-4ty-4=0，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
則y₁+y₂=4t，y₁y₂=-4
∴$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂=（ty₁+1）（ty₂+1）+y₁y₂
=t²y₁y₂+t（y₁+y₂）+1+y₁y₂
=-4t²+4t²+1-4=-3．                        …（7分）
（Ⅱ） 設點P到拋物線C的距離為|PM|，則|PF|+|PQ|=|PM|+|PQ|
當Q，P，M三點共線時|PM|+|PQ|取得最小值，
即點Q到準線的距離
∴|PF|+|PQ|的最小值為4，且點P坐標為（1，$\frac{1}{4}$）．…（12分）

點評 本題綜合考查了拋物線的方程，性質，與直線的位置關系，屬于綜合題．