Question

對于R上可導的任意函數f（x），若滿足

2-x

f′(x)

≤0，則必有（　　）

• A、f（1）+f（3）＜2f（2）
• B、f（1）+f（3）≤2f（2）
• C、f（1）+f（3）＞2f（2）
• D、f（1）+f（3）≥2f（2）

Answer 1

考點：利用導數研究函數的單調性,導數的運算

專題：導數的概念及應用

分析：由條件分別討論x＞2，x＜2時，f'（x）的符號，從而判斷f（x）的單調性，求出極值，最值，進而判斷f（1）+f（3）與2f（2）的關系．

解答： 解：∵

2-x

f′(x)

≤0，
∴當x＜2時，即2-x＞0，f'（x）＜0，則函數f（x）在（-∞，2）上單調遞減，
   當x＞2，即2-x＜0時，f'（x）＞0，則函數f（x）在（2，+∞）上單調遞增，
  所以函數f（x）在x=2處取極小值，又x∈R，則f（2）也是最小值，
  所以f（1）＞f（2），且f（3）＞f（2），兩式相加得：f（1）+f（3）＞2f（2）．
  故選：C

點評：本題主要考查運用導數研究函數的單調性，如何求極值、最值，注意開區間內極值只有一個，此時也是最值，本題是一道基礎題．