Question

若方程x²+x+a=0至少有一根為非負實數，求實數a的取值范圍．

Answer 1

考點：一元二次方程的根的分布與系數的關系

專題：綜合題,不等式的解法及應用

分析：根據方程x²+x+a=0有實數根，可得△=1²-4×1×a=1-4a≥0，利用韋達定理，分類討論，一個實數根為0，另一個實數根為-1；一個實數根為負實數，另一個實數根為正實數，即可得出結論．

解答： 解：依題知，方程x²+x+a=0有實數根，則有：△=1²-4×1×a=1-4a≥0
∴a≤

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設方程x²+x+a=0的兩個實數根為x₁和x₂，根據韋達定理有：
x₁+x₂=-1 …（1）
x₁x₂=a …（2）
能使（1）成立的兩個實數根，必須滿足以下兩種情況：
①一個實數根為0，另一個實數根為-1（如x₁=0，x₂=-1），此時由（2）式知：a=x₁x₂=0
②一個實數根為負實數，另一個實數根為正實數．
設x₁=k（k＞0），則x₂=-（k+1），x₁x₂=-（k²+k）＜0，
此時由（2）式知：a=x₁x₂＜0
綜合以上所有結論知，實數a的取值范圍為：a≤0．

點評：本題考查一元二次方程的根的分布，考查韋達定理的運用，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．