Question

14．已知函數f（x）=lnx-kx+1．
（1）當k=2時，求函數的單調增區間；
（2）若f（x）≤0恒成立，試確定實數k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數的導數，解關于導函數的不等式，求出函數的遞增區間即可；
（2）問題轉化為$k≥\frac{lnx+1}{x}$在（0，+∞）上恒成立，令$g（x）=\frac{lnx+1}{x}（{x＞0}）$，根據函數的單調性求出k的范圍即可．

解答 解：函數y=f（x）的定義域為（0，+∞）--------------------------（1分）
（1）當k=2時，f（x）=lnx-2x+1，則$f'（x）=\frac{1}{x}-2=\frac{1-2x}{x}$-------------------------（3分）
由$f'（x）＞0⇒0＜x＜\frac{1}{2}$，所以函數的單調增區間為$（{0，\frac{1}{2}}）$．-----------------------------------（6分）
（2）由f（x）≤0得kx≥lnx+1，即$k≥\frac{lnx+1}{x}$在（0，+∞）上恒成立．----------------------------------（7分）
令$g（x）=\frac{lnx+1}{x}（{x＞0}）$，則$g'（x）=-\frac{lnx}{x^2}$．---------------------------------------------（8分）
由g'（x）＞0得0＜x＜1，由g'（x）＜0得x＞1．--------------------------------------------（9分）
所以g（x）在（0，1）為增區間，在（1，+∞）為減區間，--------------------------------------------（10分）
所以當x=1時，g（x）_max=g（1）=1．故k≥1．--------------------------------------------（12分）

點評 本題考查了函數的單調性問題，考查導數的應用以及函數恒成立問題，是一道中檔題．