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14.已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1,F2,過F1且與x軸垂直的直線交橢圓于A、B兩點,直線AF2與橢圓的另一個交點為C,若${S}_{△ABC}=3{S}_{△BC{F}_{2}}$,則橢圓的離心率為(  )
A.$\frac{\sqrt{5}}{5}$B.$\frac{\sqrt{3}}{3}$C.$\frac{\sqrt{10}}{5}$D.$\frac{3\sqrt{3}}{10}$

分析 由題意可知:可設A(-c,$\frac{{b}^{2}}{a}$),C(x,y),由${S}_{△ABC}=3{S}_{△BC{F}_{2}}$,可得$\overrightarrow{A{F}_{2}}$=2$\overrightarrow{{F}_{2}C}$,根據向量的坐標運算求得x=2c,y=-$\frac{{b}^{2}}{2a}$,代入橢圓方程,根據離心率公式即可求得橢圓的離心率.

解答 解:橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1(a>b>0)焦點在x軸上,設橢圓的左、右焦點分別為F1(-c,0),F2(c,0),
由x=-c,代入橢圓方程可得y=±$\frac{{b}^{2}}{a}$,可設A(-c,$\frac{{b}^{2}}{a}$),C(x,y),
由${S}_{△ABC}=3{S}_{△BC{F}_{2}}$,
可得$\overrightarrow{A{F}_{2}}$=2$\overrightarrow{{F}_{2}C}$,即有(2c,-$\frac{{b}^{2}}{a}$)=2(x-c,y),即2c=2x-2c,$\frac{{b}^{2}}{a}$=2y,
可得:x=2c,y=-$\frac{{b}^{2}}{2a}$,
代入橢圓方程可得:$\frac{4{c}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{b}^{2}}{4{a}^{2}}=1$,由b2=a2-c2,根據離心率公式可知:e=$\frac{c}{a}$,
整理得:16e2+1-e2=4,解得e=±$\frac{\sqrt{5}}{5}$,
由0<e<1,則e=$\frac{\sqrt{5}}{5}$,
故選A.

點評 本題考查橢圓的標準方程及簡單幾何性質,考查向量的坐標運算,考查計算能力,屬于中檔題.

練習冊系列答案
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4.在△ABC中,若A=60°,b=4,此三角形面積S=2$\sqrt{3}$,則a的值是(  )
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A.4B.$4\sqrt{3}$C.8D.$8\sqrt{3}$

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A.(0,+∞)B.(1,+∞)C.(2,+∞)D.(-∞,2)

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A.-$\frac{33}{15}$B.$\frac{33}{15}$C.-$\frac{33}{17}$D.$\frac{33}{17}$

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6.已知Sn為等差數列{an}的前n項和,a5=2,an-1+an+1=a5an(n≥2)且a3是a1與-$\frac{8}{5}$的等比數列.
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4.函數$y=\frac{e^x}{{{e^{2x}}-1}}$的大致圖象是(  )
A.B.C.D.

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