(本小題滿分12分)
已知函數(shù)的零點的集合為{0,1},且
是f(x)的一個極值點。
(1)求的值;
(2)試討論過點P(m,0)與曲線y=f(x)相切的直線的條數(shù)。
(1);(2)當
或
時,
,方程①有兩等根
或
,此時,過點
或
與曲線
相切的直線有兩條;
當時,
,方程①無解,此時過點
與曲線
相切的直線僅有一條;
當或
時,
,方程①有兩個不同的實根,此時過點
與曲線
相切的直線有三條.
解析試題分析:(Ⅰ)函數(shù)的零點的集合為
,則方程
的解可以為
,或
.
∴或
.
①若,則
.
當,或
時,
,函數(shù)
為增函數(shù);當
,
,函數(shù)
為減函數(shù);
∴,
為函數(shù)的極值點.與題意不符.
②若,則
當,或
時,
,函數(shù)
為增函數(shù);當
,
,函數(shù)
為減函數(shù);
∴,
為函數(shù)的極值點.
綜上,函數(shù),即
,
而,故
,∴
…6分
(Ⅱ)設過點的直線與曲線
切于點
,
由(Ⅰ)知,∴曲線
在點
處的切線方程為
,
∵滿足此方程,故
,又
即,∴
.
,或
…①,關于
的方程
的判別式
當或
時,
,方程①有兩等根
或
,此時,過點
或
與曲線
相切的直線有兩條;
當時,
,方程①無解,此時過點
與曲線
相切的直線僅有一條;
當或
時,
,方程①有兩個不同的實根,此時過點
與曲線
相切的直線有三條. …12分
考點:函數(shù)的零點;函數(shù)的極值點;導數(shù)的幾何意義;曲線的切線方程。
點評:利用導數(shù)求曲線的切線方程,我們一定要分清是“在某點處的切線”還是“過某點的切線”。對于“在某點處的切線”的問題,這一點就是切點,直接根據(jù)導數(shù)的幾何意義寫出切線方程即可。對于“過某點的切線”問題,我們一般要把切點坐標設出來解決。
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
(本題滿分為12分)
已知函數(shù)的圖像過坐標原點
,且在點
處的切線的斜率是
.
(1)求實數(shù)的值;
(2)求在區(qū)間
上的最大值;
(3)對任意給定的正實數(shù),曲線
上是否存在兩點
,使得
是以
為直角頂點的直角三角形,且此三角形斜邊的中點在軸上?請說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
(本小題滿分12分)
已知函數(shù)f(x)=ln+mx2(m∈R)
(I)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(II)若A,B是函數(shù)f(x)圖象上不同的兩點,且直線AB的斜率恒大于1,求實數(shù)m的取值范圍。
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
已知函數(shù)且
(Ⅰ)試用含的代數(shù)式表示
;
(Ⅱ)求的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅲ)令,設函數(shù)
在
處取得極值,記點
,證明:線段
與曲線
存在異于
、
的公共點;
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