Question

在拋物線y=4x²上求一點，使該點到直線y=4x-5的距離最短，該點的坐標是

 

．

Answer 1

分析：聯立直線與拋物線方程，利用判別式等于0，求出直線方程，解出所求點的坐標．

解答：解法一：設與y=4x-5平行的直線y=4x+b與y=4x²相切，則y=4x+b代入y=4x²，得4x²-4x-b=0．①
△=16+16b=0時b=-1，代入①得x=

1

2

，
∴所求點為（

1

2

，1）．
解法二：設該點坐標為A（x₀，y₀），那么有y₀=4x₀²．設點A到直線y=4x-5的距離為d，則
d=

|4x0-y0-5|

42+1

=

1

17

|-4x₀²+4x₀-5|=

1

17

|4x₀²-4x₀+5|=

1

17

|4（x₀-

1

2

）²+1|．
當且僅當x₀=

1

2

時，d有最小值，
將x₀=

1

2

代入y=4x²解得y₀=1．
故A點坐標為（

1

2

，1）．
故答案為：（

1

2

，1）．

點評：本題考查點到直線的距離，直線與拋物線的位置關系，是中檔題．