Question

【題目】已知函數，．

（1）討論函數的單調性；

（2）設函數，若在上存在極值，求的取值范圍，并判斷極值的正負．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）當時，在上存在極值，且極值都為正數

【解析】分析：（1）先求導，再對a分類討論得到函數的單調性.(2)先求導，

再構造函數研究函數在上的極值情況，求的取值范圍，并判斷極值的正負．

詳解：（1）定義域為，，

①當時，在上恒成立，所以在上單調遞增；

②當時，令，得，

∴當時，，單調遞減，

當時，，單調遞增．

綜上所述，當時，在上單調遞增；

當時，在單調遞減，在上單調遞增．

（2），，

∴，

設，則，

由，得，

當時，；當時，，

∴在上單調遞增，在上單調遞減，

且，，，

顯然，

結合圖象可知，若在上存在極值，則

解得．

①當即時，

則必定，，使得，且，

當變化時，，，的變化情況如表：

		極小值		極大值

∴當時，在上的極值為，，且，

∵，

設，其中，．

∵，∴在上單調遞增，，當且僅當時取等號．　

∵，∴，

∴當時，在上的極值.

②當即時，

則必定，使得，

易知在上單調遞增，在上單調遞減，

此時，在上的極大值是，且，

∴當時，在上存在極值，且極值都為正數，

綜上所述，當時，在上存在極值，且極值都為正數．