Question

【題目】已知函數

（1）討論的單調性；

（2）若恰有兩個整數解，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）當時，為上的減函數；當時，的單調遞減區間為，單調遞增區間為；（2）

【解析】

（1）求導后，分別在和兩種情況下判斷導函數的正負，從而得到原函數的單調性；（2）將問題轉變為恰有兩個整數解，令，通過導數可得函數的單調性，進而得到函數圖象，利用數形結合的方式判斷出恰有兩個整數解的情況，從而得到所求范圍.

（1）由題意知：

當時， 為上的減函數

當時，由，解得：

當時，；當時，

的單調遞減區間為，單調遞增區間為

綜上所述：當時，為上的減函數；當時，的單調遞減區間為，單調遞增區間為

（2）由恰有兩個整數解可得恰有兩個整數解

設，則：

令，解得：

當時，；當時，

在上單調遞增，在上單調遞減

又，，，

可得圖象如下圖所示：

根據數形結合可知，若恰有兩個整數解，則需

即當時，恰有兩個整數解