Question

16．函數(shù)$f（x）={log_{\frac{1}{2}}}（{x+\frac{1}{x}-\frac{17}{4}}）$的單調遞增區(qū)間是（0，$\frac{1}{4}$）．

Answer 1

分析 先求函數(shù)的定義域，利用復合函數(shù)單調性之間的關系進行轉化求解即可．

解答 解：x+$\frac{1}{x}$-$\frac{17}{4}$＞0得
①當x＞0時，4x²-17x+4＞0，得x＞4或0＜x＜$\frac{1}{4}$，
②當x＜0時，4x²-17x+4＜0，得$\frac{1}{4}$＜x＜4，此時無解，
即函數(shù)的定義域為（4，+∞）∪（0，$\frac{1}{4}$），
設t=g（x）=x+$\frac{1}{x}$-$\frac{17}{4}$，則y=log${\;}_{\frac{1}{2}}$t為減函數(shù)，
要求函數(shù)$f（x）={log_{\frac{1}{2}}}（{x+\frac{1}{x}-\frac{17}{4}}）$的單調遞增區(qū)間，
即求函數(shù)t=g（x）=x+$\frac{1}{x}$-$\frac{17}{4}$的遞減區(qū)間，
由g′（x）＜0得g′（x）=1-$\frac{1}{{x}^{2}}$＜0，得x²＜1，即-1＜x＜1，
∵函數(shù)的定義域為（4，+∞）∪（0，$\frac{1}{4}$），
∴此時0＜x＜$\frac{1}{4}$，
即函數(shù)g（x）的單調遞減區(qū)間為（0，$\frac{1}{4}$），
即函數(shù)f（x）的單調遞增區(qū)間為（0，$\frac{1}{4}$），
故答案為：（0，$\frac{1}{4}$）．

點評 本題主要考查復合函數(shù)單調性的求解和判斷，利用換元法結合復合函數(shù)單調性之間的關系是解決本題的關鍵．