Question

數列{a_n}首項a₁=1，前n項和S_n與a_n之間滿足a_n=

2Sn2

2Sn-1

（n≥2）．
（1）求數列{a_n}前n項和S_n的表達式；
（2）求數列{a_n}的通項公式．

Answer 1

考點：數列的求和,數列遞推式

專題：等差數列與等比數列

分析：（1）利用遞推關系式求出數列是等差數列，進一步求出通項公式．
（2）根據（1）的結論，進一步求出數列的通項，注意分段數列的條件．

解答： 解：（1）當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1
代入an=

2Sn2

2Sn-1

所以：Sn-Sn-1=

2Sn2

2Sn-1

整理得：S_n-1-S_n=2S_nS_n-1
所以：

1

Sn

-

1

Sn-1

=2(n≥2)

1

S1

=

1

a1

=1
{

1

Sn

}是以1為首項，2為公差的等差數列
所以：

1

Sn

=1+2(n-1)=2n-1
（2）由（1）得：Sn=

1

2n-1

所以：an=Sn-Sn-1=

1

2n-1

-

1

2n-3

=

2n-3-2n+1

(2n-1)(2n-3)

=

-2

(2n-1)(2n-3)

an=

1(n=1) -2 (2n-1)(2n-3) (n≥2)

點評：本題考查的知識要點：利用遞推關系式求數列的通項公式，利用前n項和法求數列的通項公式．屬于中等題型．