Question

9．若函數$f（x）=sinx（sinx-\sqrt{3}cosx）$的圖象向左平移$\frac{π}{12}$個單位，得到函數g（x）的圖象，則下列關于g（x）敘述正確的是（　　）

• A． g（x）的最小正周期為2π
• B． g（x）在$[{-\frac{π}{8}，\frac{3π}{8}}]$內單調遞增
• C． g（x）的圖象關于$x=\frac{π}{12}$對稱
• D． g（x）的圖象關于$（-\frac{π}{8}，0）$對稱

Answer 1

分析 將函數f（x）化簡后，由條件根據誘導公式、y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規律，g（x）的圖象，結合三角函數的性質，可得結論．

解答 解：函數$f（x）=sinx（sinx-\sqrt{3}cosx）$．
化簡可得：f（x）=sin²x-$\sqrt{3}$sinxcosx=$\frac{1}{2}-$$\frac{1}{2}$cos2x-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x
=$\frac{1}{2}$-sin（2x+$\frac{π}{6}$）圖象向左平移$\frac{π}{12}$個單位，可得：$\frac{1}{2}$-sin（2x+$\frac{π}{6}$+$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}-$sin（2x+$\frac{π}{3}$）=g（x）
最小正周期T=$\frac{2π}{2}=π$，∴A不對．
由$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{3}$$≤\frac{3π}{2}$，可得：$\frac{π}{12}≤x≤\frac{7π}{12}$，g（x）在$[\frac{π}{12}，\frac{7π}{12}]$內單調遞增，∴B不對．
由2x+$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}+kπ$，可得x=$\frac{π}{12}+\frac{1}{2}kπ$，（k∈Z），當k=0時，可得g（x）的圖象的對稱軸為$x=\frac{π}{12}$，
∴C對．
由2x+$\frac{π}{3}$=kπ，可得x=$\frac{1}{2}kπ$-$\frac{π}{6}$，對稱中心的橫坐標為（$\frac{1}{2}kπ-\frac{π}{6}$，0），∴D不對．
故選C．

點評 本題主要考查三角函數的圖象和性質，y=Asin（ωx+∅）的圖象變換規律，屬于中檔題．