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設直線l1:y=k1x+1,l2:y=k2x-1,其中實數(shù)k1,k2滿足k1k2+2=0
(1)證明l1與l2相交;
(2)證明l1與l2的交點在橢圓2x2+y2=1上.
分析:(1)用反證法,假設兩條直線平行,則據(jù)斜率相同得到與已知矛盾的結(jié)論,即可得證.
(2)將兩直線方程聯(lián)立,求出交點坐標,利用已知條件,將交點坐標代入橢圓方程左側(cè),若滿足方程,則得到證明點在線上.
解答:解:(1)假設兩條直線平行,則k1=k2
∴k1•k2+2=k12+2=0無意義,矛盾
所以兩直線不平行
故l1與l2相交
(2)由
y=k1x+1
y=k2x-1
x=
2
k2-k1
y=
k2+k1
k2-k1

2x2+y2=
k22+k12+2k1k2+8
(k2-k1)2

∵k1•k2+2=0
k22+k12+2k1k2+8
(k2-k1)2
=1

故l1與l2的交點在橢圓2x2+y2=1上.
點評:本題考查利用反證法證明命題、考查通過解兩條直線方程構(gòu)成的方程組求出兩條直線的交點的坐標.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知橢圓┍的方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0),點P的坐標為(-a,b).
(1)若直角坐標平面上的點M、A(0,-b),B(a,0)滿足
PM
=
1
2
PA
+
PB
),求點M的坐標;
(2)設直線l1:y=k1x+p交橢圓┍于C、D兩點,交直線l2:y=k2x于點E.若k1•k2=-
b2
a2
,證明:E為CD的中點;
(3)對于橢圓┍上的點Q(a cosθ,b sinθ)(0<θ<π),如果橢圓┍上存在不同的兩個交點P1、P2滿足
PP1
+
PP2
=
PQ
,寫出求作點P1、P2的步驟,并求出使P1、P2存在的θ的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知橢圓Γ的方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
,A(0,b)、B(0,-b)和Q(a,0)為Γ的三個頂點.
(1)若點M滿足
AM
=
1
2
(
AQ
+
AB
)
,求點M的坐標;
(2)設直線l1:y=k1x+p交橢圓Γ于C、D兩點,交直線l2:y=k2x于點E.若k1k2=-
b2
a2
,證明:E為CD的中點;
(3)設點P在橢圓Γ內(nèi)且不在x軸上,如何構(gòu)作過PQ中點F的直線l,使得l與橢圓Γ的兩個交點P1、P2滿足
PP1
+
PP2
=
PQ
PP1
+
PP2
=
PQ
?令a=10,b=5,點P的坐標是(-8,-1),若橢圓Γ上的點P1、P2滿足
PP1
+
PP2
=
PQ
,求點P1、P2的坐標.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

設直線l1:y=k1x+1,l2:y=k2x-1,其中實數(shù)k1,k2滿足k1k2+2=0.證明l1與l2的交點在橢圓2x2+y2=1上.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

設直線l1:y=k1x+1,l2:y=k2x-1,其中實數(shù)k1,k2滿足k1k2+1=0.
(Ⅰ)證明:直線l1與l2相交;
(Ⅱ)證明:直線l1與l2的交點在圓x2+y2=1上.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2013•青浦區(qū)一模)設直線L1:y=k1x+p,p≠0交橢圓Γ:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)于C、D兩點,交直線L2:y=k2x于點E.
(1)若E為CD的中點,求證:k1k2=-
b2
a2

(2)寫出上述命題的逆命題并證明此逆命題為真;
(3)請你類比橢圓中(1)、(2)的結(jié)論,寫出雙曲線中類似性質(zhì)的結(jié)論(不必證明).

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