Question

設直線l₁：y=k₁x+1，l₂：y=k₂x-1，其中實數(shù)k₁，k₂滿足k₁k₂+2=0
（1）證明l₁與l₂相交；
（2）證明l₁與l₂的交點在橢圓2x²+y²=1上．

Answer 1

分析：（1）用反證法，假設兩條直線平行，則據(jù)斜率相同得到與已知矛盾的結(jié)論，即可得證．
（2）將兩直線方程聯(lián)立，求出交點坐標，利用已知條件，將交點坐標代入橢圓方程左側(cè)，若滿足方程，則得到證明點在線上．

解答：解：（1）假設兩條直線平行，則k₁=k₂
∴k₁•k₂+2=k₁²+2=0無意義，矛盾
所以兩直線不平行
故l₁與l₂相交
（2）由

y=k1x+1 y=k2x-1

得

x= 2 k2-k1 y= k2+k1 k2-k1

2x²+y²=

k22+k12+2k1•k2+8

(k2-k1)2

∵k₁•k₂+2=0
∴

k22+k12+2k1•k2+8

(k2-k1)2

=1
故l₁與l₂的交點在橢圓2x²+y²=1上．

點評：本題考查利用反證法證明命題、考查通過解兩條直線方程構(gòu)成的方程組求出兩條直線的交點的坐標．