Question

設直線l₁：y=k₁x+1，l₂：y=k₂x-1，其中實數k₁，k₂滿足k₁k₂+1=0．
（Ⅰ）證明：直線l₁與l₂相交；
（Ⅱ）證明：直線l₁與l₂的交點在圓x²+y²=1上．

Answer 1

分析：（Ⅰ）假設l₁與l₂平行，有k₁=k₂，代入k₁k₂+1=0，得k12+1=0，這與k₁為實數的事實相矛盾，故l₁與l₂相交．
（Ⅱ）直線l₁與l₂的交點P（x，y）滿足

y-1=k1x y+1=k2x

，x≠0，從而

k1= y-1 x k2= y+1 x

，代入k₁k₂+1=0，得

y-1

x

•

y+1

x

+1=0，由此能夠證明直線l₁與l₂的交點在圓x²+y²=1上．

解答：解：（Ⅰ）反證法：假設l₁與l₂不相交，
則l₁與l₂平行，有k₁=k₂，
代入k₁k₂+1=0，得k12+1=0，
這與k₁為實數的事實相矛盾，
∴k₁≠k₂，
故l₁與l₂相交．
（Ⅱ）直線l₁與l₂的交點P（x，y）滿足

y-1=k1x y+1=k2x

，
∴x≠0，從而

k1= y-1 x k2= y+1 x

，
代入k₁k₂+1=0，得

y-1

x

•

y+1

x

+1=0，
整理，得x²+y²=1，
∴直線l₁與l₂的交點在圓x²+y²=1上．

點評：本題考查直線相交的證明，考查兩直線的交點在圓上的證明．解題時認真審題，注意反證法的合理運用．