Question

設(shè)直線l₁：y=k₁x+1，l₂：y=k₂x-1，其中實數(shù)k₁，k₂滿足k₁k₂+2=0．證明l₁與l₂的交點在橢圓2x²+y²=1上．

Answer 1

分析：將兩直線方程聯(lián)立，求出交點坐標(biāo)，利用已知條件，將交點坐標(biāo)代入橢圓方程左側(cè)，若滿足方程，則得到證明點在線上．

解答：證明：由方程組

y=k1x+1 y=k2x-1

解得交點P的坐標(biāo)（x，y）為

x= 2 k2-k1 y= k2+k1 k2-k1 .

而2x2+y2=2(

2

k2-k1

)2+(

k2+k1

k2-k1

)2=

8+ k 2 2 + k 2 1 +2k1k2

k 2 2 + k 2 1 -2k1k2

=

k 2 1 + k 2 2 +4

k 2 1 + k 2 2 +4

=1．
此即表明交點P（x，y）在橢圓2x²+y²=1上．

點評：本題考查兩條直線的交點坐標(biāo)、考查通過解兩條直線方程構(gòu)成的方程組求出兩條直線的交點的坐標(biāo)．