Question

已知二次函數f（x）=ax²+bx+c（a＞0），方程f（x）=x的兩個根為x₁，x₂，滿足0＜x₁＜x₂＜

1

a

，那么當x∈（0，x₁）時，x，f（x）與x₁的大小關系為（　　）

• A、f（x）＜x＜x₁
• B、f（x）＜x₁＜x
• C、x＜f（x）＜x₁
• D、x＜x₁＜f（x）

Answer 1

考點：函數的零點與方程根的關系,二次函數的性質

專題：函數的性質及應用

分析：構造函數F（x）=f（x）-x，當x∈（0，x₁）時，利用函數的性質推出x＜f （x），然后作差x₁-f（x），化簡分析出f（x）＜x₁，即可．

解答： 解：令F（x）=f（x）-x．
∵x₁，x₂是方程f（x）-x=0的根，
∴F（x）=a（x-x₁）（x-x₂）．
當x∈（0，x₁）時，由于x₁＜x₂，得（x-x₁）（x-x₂）＞0，
又a＞0，得F（x）=a（x-x₁）（x-x₂）＞0，
即x＜f（x）．
x₁-f（x）=x₁-[x+F（x）]=x₁-x+a（x₁-x）（x-x₂）=（x₁-x）[1+a（x-x₂）]
∵0＜x₁＜x₂＜

1

a

，
∴x₁-x＞0，1+a（x-x₂）=1+ax-ax₂＞1-ax₂＞0．
得x₁-f（x）＞0．
由此得f（x）＜x₁．
綜上x＜f（x）＜x₁，
故選：C

點評：本小題主要考查一元二次方程、二次函數和不等式的基礎知識，考查綜合運用數學知識分析問題和解決問題的能力