Question

設實數a，b，c滿足

5b≥2(a+c) b2=ac a＞0

，若

5a+8b+4c

a+b

的最大值和最小值分別為M，m，則M+m的值為（　　）

• A、9
• B、

  32

  3

• C、

  49

  3

• D、19

Answer 1

考點：簡單線性規劃的應用

專題：計算題,不等式的解法及應用

分析：由題意，c=

b2

a

，故化

5a+8b+4c

a+b

=

5a2+8ab+4b2

a2+ab

=

5+8 b a +4( b a )2

1+ b a

，再令

b

a

=t，從而化為4（t+1）+

1

t+1

；再化簡

5b≥2(a+c) b2=ac a＞0

可得

1

2

≤

b

a

≤2；從而利用函數的單調性求最值．

解答： 解：由題意，c=

b2

a

，

5a+8b+4c

a+b

=

5a2+8ab+4b2

a2+ab

=

5+8 b a +4( b a )2

1+ b a

，
令

b

a

=t，
則

5+8 b a +4( b a )2

1+ b a

=

5+8t+4t2

1+t

=4（t+1）+

1

t+1

；

5b≥2(a+c) b2=ac a＞0

可化為5b≥2（a+

b2

a

），
故2a²-5ab+2b²≤0，
即，（2a-b）（a-2b）≤0，
即（2-

b

a

）（1-2

b

a

）≤0，
則

1

2

≤

b

a

≤2；
即

3

2

≤t+1≤3，
則M=[4（t+1）+

1

t+1

]_max=12+

1

3

，m=[4（t+1）+

1

t+1

]_min=6+

2

3

；
故M+m=19；
故選D．

點評：本題考查了表達式的化簡與求值，同時考查了換元法，屬于中檔題．