Question

已知二次函數y=f（x）的圖象與x軸有兩個交點，它們之間的距離為4，且滿足f（3+x）=f（3-x），該函數的最小值是-3，則
（1）求該函數的解析式；
（2）寫出函數的單調區間．

Answer 1

考點：二次函數的性質

專題：函數的性質及應用

分析：（1）先求出函數的對稱軸，從而求出圖象與x軸的交點坐標，設出函數的表達式，將（3，-3）代入從而求出函數的表達式；
（2）根據函數的解析式寫出單調區間即可．

解答： 解：（1）∵f（3+x）=f（3-x），
∴函數f（x）的對稱軸是：x=3，
∵二次函數y=f（x）的圖象與x軸兩個交點之間的距離為4，
∴交點坐標是（1，0），（5，0），
設f（x）=a（x-1）（x-5），
將（3，-3）代入函數的表達式得：
-3=a（3-1）（3-5），解得：a=

3

4

，
∴f（x）=

3

4

x²-

9

2

x+

15

4

；
（2）由（1）得：f（x）=

3

4

（x-3）²-3，
∴函數f（x）在（-∞，3）遞增，在（3，+∞）遞減．

點評：本題考查了二次函數的性質，考查了求函數的解析式問題，考查了函數的單調性，是一道基礎題．