Question

【題目】設函數，其中為自然對數的底數.

（1）若在定義域上是增函數，求的取值范圍；

（2）若直線是函數的切線，求實數的值；

（3）當時，證明：.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）證明見解析

【解析】

（1）首先求出函數的定義域與導函數，由在上是增函數

即在上恒成立；即在上恒成立

設，利用導數說明其單調性，即可求出參數的取值范圍；

（2）設切點為，則，再由切線的斜率為零得到，所以，構造函數，利用導數說明其單調性，即可求出參數的值；

（3）由，設，利用導數說明的單調性，即可得到，最后利用基本不等式即可得證；

解：（1）函數的定義域為，，

∵在上是增函數

∴在上恒成立；即在上恒成立

設，則

由得

∴在上為增函數；即

∴.

（2）設切點為，則，

因為，所以，得，

所以.

設，則，

所以當時，，單調遞增，

當時，，單調遞減，

所以.

因為方程僅有一解，

所以.

（3）因為，

設，則，所以在單調遞增.

因為，，

所以存在，使得.

當時，，，單調遞減，

當時，，，單調遞增，

所以.

因為，所以，，

所以.