Question

7．已知函數$f（x）=\left\{{\begin{array}{l}{{x^2}，-1＜x≤1}\\{f（{x-2}），1＜x＜3}\end{array}}\right.$，若函數f（x）在x=x₀處的切線與函數f（x）的圖象恰好只有3個公共點，則x₀的取值范圍是$（{0，3-2\sqrt{2}}）∪（{2\sqrt{2}-1，2}）$．

Answer 1

分析 求出當1＜x＜3時，f（x）的解析式，畫出函數f（x）在（-1，3）的圖象，設出切點，討論當0＜x₀＜1，當1＜x₀＜2時，分別求出函數的導數，可得切線的斜率和方程，代入點（3，1），（-1，1），解方程，結合圖象和題意，即可得到所求取值范圍．

解答 解：當1＜x＜3時，-1＜x-2＜1，
f（x）=f（x-2）=（x-2）²，
畫出y=f（x）在（-1，3）的圖象，
可得函數f（x）在x=0處的切線與函數f（x）的圖象有兩個交點，
當0＜x₀＜1時，切點為（x₀，x₀²），
y=x²的導數為y′=2x，
設切線方程為y=2x₀x+m，
代入切點，可得x₀²=2x₀²+m，即m=-x₀²，
則切線方程為y=2x₀x-x₀²，
當切線經過點（3，1）時，1=6x₀-x₀²，
解得x₀=3-2$\sqrt{2}$（3+2$\sqrt{2}$舍去），
由題意可得當0＜x₀＜3-2$\sqrt{2}$時，切線與y=f（x）的圖象恰有三個交點；
當1＜x₀＜2時，切點為（x₀，（x₀-2）²），
y=（x-2）²的導數為y′=2（x-2），
設切線方程為y=2（x₀-2）x+n，
代入切點，可得（x₀-2）²）=2（x₀-2）x₀+n，即n=4-x₀²，
則切線方程為y=2（x₀-2）x+4-x₀²，
當切線經過點（-1，1）時，1=-2（x₀-2）+4-x₀²，
解得x₀=-1+2$\sqrt{2}$（-1-2$\sqrt{2}$舍去），
由題意可得當-1+2$\sqrt{2}$＜x₀＜2時，切線與y=f（x）的圖象恰有三個交點．
綜上可得x₀的取值范圍是（0，3-2$\sqrt{2}$）∪（-1+2$\sqrt{2}$，2）．
故答案為：（0，3-2$\sqrt{2}$）∪（-1+2$\sqrt{2}$，2）．

點評 本題考查導數的運用：求切線的方程，考查函數的解析式和圖象的作法，以及數形結合的思想方法，運算化簡能力，屬于中檔題．