Question

若函數f(x)=

a

•

b

，

a

=(2cosx，cosx+sinx)，

b

=(sinx，cosx-sinx)．
（1）求f（x）的圖象的對稱中心坐標和對稱軸方程；
（2）若?x∈[0，

π

2

]，f(x)＜m，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先根據向量的數量積的坐標表示方法表示出函數f（x）的解析式，再由三角函數的兩角和與差的正弦公式進行化簡，最后根據三角函數的對稱性可得答案．
（2）先根據x的范圍求出2x+

π

4

的范圍，再由三角函數的圖象可得答案．

解答：解：∵

a

=(2cosx，cosx+sinx)，

b

=(sinx，cosx-sinx)，
∴f（x）=

a

•

b

=2cosxsinx+（cosx+sinx）（cosx-sinx）
=sin2x+cos²x-sin²x=sin2x+cos2x
=

2

(

2

2

sin2x+

2

2

cos2x)=

2

sin(2x+

π

4

)
（1）令2x+

π

4

=kπ，則x=

kπ

2

-

π

8

(k∈Z)
∴f（x）的圖象的對稱中心的坐標為（

kπ

2

-

π

8

，0）（k∈Z）
令2x+

π

4

=kπ+

π

2

，則得，x=

kπ

2

+

π

8

，（k∈Z）
∴f（x）的圖象的對稱軸方程為：x=

kπ

2

+

π

8

，（k∈Z）
（2）∵0≤x≤

π

2

∴

π

4

≤2x+

π

4

≤

5π

4

∴-

2

2

≤sin(2x+

π

4

)≤1
∴-1≤f(x)≤

2

∴m＞

2

即m的取值范圍是：（

2

，+∞）

點評：本題主要考查平面向量的數量積的坐標表示和三角函數的圖象與性質的有關問題．屬中檔題．